início - Plano de Curso

Cálculo I

Código: 12975
1.º ano, 1.º semestre
Carga horária/semana: 3 horas teóricas, 3 horas teórico/práticas, 0 horas práticas
Créditos: 5
Coeficiente de Ponderação: 5
ECTS: 8
Departamento responsável: Matemática
Regente: Nuno Costa Pereira

Objectivos

Programa
Capítulo I - Revisões e complementos sobre limites e derivação
1 - Revisões e complementos sobre sucessões (6h30m).
Revisão dos conceitos básicos relativos a limites de sucessões. Teoremas elementares sobre limites de sucessões. Aproximação de Stirling elementar. Teorema da sucessão monótona. Referência ao teorema de Bolzano-Weierstrass para sucessões.
2 - Revisões e complementos sobre limites de funções e continuidade (8h).
Revisão dos conceitos básicos sobre limites de funções. Teoremas elementares sobre limites de funções. Noções sobre relações assimptóticas e suas aplicações. Revisões sobre o conceito de continuidade. Propriedades elementares das funções contínuas e revisão de alguns limites notáveis. Referência aos teoremas dos valores intermédios, de Weiertrass e da continuidade da função inversa. Aplicação à inversão das funções seno e tangente.
3 - Revisões e complementos sobre cálculo diferencial 6h).
Interpretações geométrica e física do conceito de derivada. Revisão das regras elementares de derivação. Derivação da função composta e da função inversa. Derivadas de ordem superior. Os teoremas do extremo anterior, de Rolle, de Cauchy e de Lagrange. Regras de Cauchy para o estudo de indeterminações.
Capítulo II - Séries (Primeira Parte)
1 - Séries numéricas (6h30m).
Noção de série numérica e referência aos paradoxos de Zenão. Séries geométrica e de Mengoli. Regra elementares de cáculo com séries. Noção de resto de uma série. Critério da comparação para séries de termo geral não negativo. Noção de série absolutamente convergente. Critérios de Cauchy e de D'Alembert. Critério de Leibniz.
2 - Séries de potências (9h).
Conceito de série de potências. Noção de raio de convergência. Teorema da derivação termo a termo de uma série de potências. As séries de Taylor e de Maclaurin. Desenvolvimento em série de Maclaurin das funções usuais da análise. Referência à exponêncial imaginária e à sua relação com as funções circulares.

Bibliografia
Apostol, T.M. - Calculus, Vol. 1. Wiley, 1967.
Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, 1987.
Courant, R. E F. John - Introduction to Calculus and Analysis. Vol. 1. Wiley, 1965.
Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal. Departamento de Matemática da FCUL, 1996.

Avaliação
Os alunos que frequentarem pelo menos 80% das aulas práticas terão direito a uma avaliação especial distribuida por dois testes.
Para todos os alunos haverá exame final, escrito e oral, nos moldes tradicionais.

Observações